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La Differenza tra Funzioni Lineari e Polinomiali

Quando analizziamo la relazione tra due variabili, come nel caso del tasso di interesse e della rata di un mutuo, possiamo descriverne il comportamento con funzioni matematiche. Due dei modelli più comuni sono le funzioni lineari e le funzioni polinomiali (quadratiche). In questo articolo, esploreremo le differenze tra queste due tipologie di funzioni, utilizzando esempi concreti.

Funzione Lineare: Aumento Costante

Una funzione lineare descrive una relazione in cui la variabile dipendente cresce (o decresce) in modo costante al variare della variabile indipendente. La forma generale di una funzione lineare è:

R(t) = mt + c

Dove:

R(t) è la variabile dipendente (la rata mensile, nel nostro caso),
t è la variabile indipendente (il tasso di interesse),
m rappresenta la crescita costante (pendenza),
c è il valore iniziale della variabile dipendente (l’intercetta).

Esempio di Funzione Lineare

Immaginiamo un tasso di interesse crescente in modo lineare con un incremento costante della rata. La formula potrebbe essere:

R(t) = 40t + 300

Questo significa che per ogni 1% di aumento del tasso di interesse, la rata mensile aumenta di 40€. Vediamo come cambia la rata con diversi tassi di interesse:

Con un tasso del 1%, la rata sarà: 340€ (R(1) = 40(1) + 300)
Con un tasso del 2%, la rata sarà: 380€ (R(2) = 40(2) + 300)
Con un tasso del 3%, la rata sarà: 420€ (R(3) = 40(3) + 300)

L’incremento è sempre di 40€ per ogni aumento di 1% nel tasso di interesse. Questo è ciò che caratterizza una funzione lineare: un aumento costante e prevedibile.

Funzione Polinomiale (Quadratica): Aumento Variabile

Al contrario, una funzione polinomiale (quadratica) descrive una relazione in cui la variabile dipendente cresce in modo non lineare, con un’accelerazione o decelerazione man mano che la variabile indipendente aumenta. La forma generale di una funzione polinomiale di secondo grado è:

R(t) = at² + bt + c

Dove:

R(t) è la variabile dipendente,
t è la variabile indipendente,
a è il coefficiente del termine quadratico (che determina la curvatura della parabola),
b è il coefficiente del termine lineare,
c è il termine costante.

Esempio di Funzione Polinomiale

Abbiamo derivato la seguente funzione polinomiale per modellare l’andamento della rata mensile in base al tasso di interesse utilizzando Excel e un metodo statistico chiamato regressione polinomiale. In questo caso, Excel ha calcolato i coefficienti che meglio si adattano ai dati reali, fornendo la formula:

R(t) = 1.32t² + 42.09t + 416.45

Con questa formula, possiamo osservare come la rata cresca a un ritmo variabile, non costante, al crescere del tasso di interesse. Vediamo qualche esempio:

Con un tasso del 1%, la rata sarà: 459.89€ (R(1) = 1.32(1)² + 42.09(1) + 416.45)
Con un tasso del 2%, la rata sarà: 505.88€ (R(2) = 1.32(2)² + 42.09(2) + 416.45)
Con un tasso del 3%, la rata sarà: 554.60€ (R(3) = 1.32(3)² + 42.09(3) + 416.45)

Calcolo Manuale

Prima dell’uso di strumenti software come Excel, questi coefficienti potevano essere calcolati manualmente usando il metodo dei minimi quadrati. Questo metodo statistico permette di minimizzare l’errore tra i dati osservati e la curva stimata, risolvendo un sistema di equazioni lineari basato sui valori raccolti (ad esempio, il tasso di interesse e la rata mensile). I calcoli manuali richiedevano strumenti come il regolo calcolatore e tavole numeriche, oppure la risoluzione manuale di sistemi lineari tramite tecniche algebriche.

In sintesi, con Excel abbiamo potuto automatizzare un processo complesso che una volta richiedeva molto più tempo e calcoli manuali, rendendo più facile derivare equazioni come questa per analizzare il comportamento delle variabili.

Come si può notare, l’aumento della rata è maggiore a tassi più elevati. La funzione polinomiale descrive una relazione in cui l’incremento diventa sempre più rapido, a differenza della funzione lineare, dove l’incremento è sempre lo stesso.

Leggi il nostro articolo Aumento o Diminuzione dell’interesse sulla Rata del Mutuo

Confronto tra Funzione Lineare e Polinomiale

Ecco un riassunto delle principali differenze:

Funzione Lineare	Funzione Polinomiale (Quadratica)
Crescita costante e prevedibile.	Crescita variabile, l’incremento accelera o decelera.
Formula: R(t) = mt + c	Formula: R(t) = at² + bt + c
Esempio: l’incremento della rata è sempre lo stesso per ogni aumento del tasso di interesse.	Esempio: l’incremento della rata diventa maggiore con tassi più elevati.

Conclusione

In sintesi, le funzioni lineari e polinomiali descrivono relazioni molto diverse tra variabili. Una funzione lineare implica un aumento costante, mentre una funzione polinomiale di secondo grado (quadratica) implica un aumento che varia man mano che la variabile indipendente cresce. Nella pratica, la scelta di un modello dipende dalla natura della relazione che vogliamo descrivere.